62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

解法一：动态规划

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func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([][]int, m)
    for i := 0; i < m; i++ {
        dp[i] = make([]int, n)
    }
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[0][i] = 1
    }
    for i := 0; i < m; i++ {
        dp[i][0] = 1
    }

    for i := 1; i < m; i++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        }
    }
    return dp[m-1][n-1]
}

优化上述代码，优化后的代码如下：

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func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([][]int, 2)
    for i := 0; i < 2; i++ {
        dp[i] = make([]int, n)
    }
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[0][i] = 1
    }
    dp[1][0] = 1

    for i := 1; i < m; i++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dp[1][j] = dp[0][j] + dp[1][j-1]
        }
        dp[0] = dp[1]
    }
    // 不要返回 dp[1][n-1]，当 m = 1 时解答错误。
    return dp[0][n-1]
}

优化后的解法空间复杂度为 O(n)，继续优化，让空间复杂度降到 O(n)，优化后的代码如下：

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func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([]int, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[i] = 1
    }
    for i := 1; i < m; i++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dp[j] += dp[j-1]
        }
    }
    return dp[n-1]
}