968. 监控二叉树

题目描述

给定一个二叉树，我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

示例 1：

• 输入：[0,0,null,0,0]
• 输出：1
• 解释：如图所示，一台摄像头足以监控所有节点。

示例 2：

• 输入：[0,0,null,0,null,0,null,null,0]
• 输出：2
• 解释：需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。

提示：

1. 给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。
2. 每个节点的值都是 0。

解法一：贪心

解题思路

一下解题思路来自 代码随想录 的思路，原文地址：968. 监控二叉树

这道题目其实不是那么好理解的，题目举的示例不是很典型，会误以为摄像头必须要放在中间，其实放哪里都可以只要覆盖了就行。

这道题目难在两点：

1. 需要确定遍历方式
2. 需要状态转移的方程

我们之前做动态规划的时候，只要最难的地方在于确定状态转移方程，至于遍历方式无非就是在数组或者二维数组上。

本题并不是动态规划，其本质是贪心，但我们要确定状态转移方式，而且要在树上进行推导，所以难度就上来了，一些同学知道这道题目难，但其实说不上难点究竟在哪。

确定遍历方式

首先先确定遍历方式，才能确定转移方程，那么该如何遍历呢？

在安排选择摄像头的位置的时候，我们要从底向上进行推导，因为尽量让叶子节点的父节点安装摄像头，这样摄像头的数量才是最少的 ，这也是本道贪心的原理所在！

如何从低向上推导呢？

就是后序遍历也就是左右中的顺序，这样就可以从下到上进行推导了。

后序遍历代码如下：

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    int traversal(TreeNode* cur) {

        // 空节点，该节点有覆盖
        if (终止条件) return ;

        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右

        逻辑处理                            // 中

        return ;
    }

注意在以上代码中我们取了左孩子的返回值，右孩子的返回值，即 left 和 right， 以后推导中间节点的状态

确定状态转移的方程

确定了遍历顺序，再看看这个状态应该如何转移，先来看看每个节点可能有几种状态：

可以说有如下三种：

• 该节点无覆盖
• 本节点有摄像头
• 本节点有覆盖

我们分别有三个数字来表示：

• 0：该节点无覆盖
• 1：本节点有摄像头
• 2：本节点有覆盖

大家应该找不出第四个节点的状态了。

一些同学可能会想有没有第四种状态：本节点无摄像头，其实无摄像头就是无覆盖或者有覆盖的状态，所以一共还是三个状态。

那么问题来了，空节点究竟是哪一种状态呢？ 空节点表示无覆盖？ 表示有摄像头？还是有覆盖呢？

回归本质，为了让摄像头数量最少，我们要尽量让叶子节点的父节点安装摄像头，这样才能摄像头的数量最少。

那么空节点不能是无覆盖的状态，这样叶子节点就可以放摄像头了，空节点也不能是有摄像头的状态，这样叶子节点的父节点就没有必要放摄像头了，而是可以把摄像头放在叶子节点的爷爷节点上。所以空节点的状态只能是有覆盖，这样就可以在叶子节点的父节点放摄像头了。

接下来就是递推关系。

那么递归的终止条件应该是遇到了空节点，此时应该返回 2（有覆盖），原因上面已经解释过了。

代码如下：

1
2

// 空节点，该节点有覆盖
if (cur == NULL) return 2;

递归的函数，以及终止条件已经确定了，再来看单层逻辑处理。

主要有如下四类情况：

1. 情况 1：左右节点都有覆盖

   左孩子有覆盖，右孩子有覆盖，那么此时中间节点应该就是无覆盖的状态了。

   如图：

   

   代码如下：

   1 2	// 左右节点都有覆盖 if (left == 2 && right == 2) return 0;

2. 情况 2：左右节点至少有一个无覆盖的情况

   如果是以下情况，则中间节点（父节点）应该放摄像头：

   left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖 left == 1 && right == 0 左节点有摄像头，右节点无覆盖 left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖，右节点摄像头 left == 0 && right == 2 左节点无覆盖，右节点覆盖 left == 2 && right == 0 左节点覆盖，右节点无覆盖

   这个不难理解，毕竟有一个孩子没有覆盖，父节点就应该放摄像头。

   此时摄像头的数量要加一，并且 return 1，代表中间节点放摄像头。

   代码如下：

   1 2 3 4

   if (left == 0 || right == 0) { result++; return 1; }

3. 情况 3：左右节点至少有一个有摄像头

   如果是以下情况，其实就是左右孩子节点有一个有摄像头了，那么其父节点就应该是 2（覆盖的状态）

   • 左节点有摄像头，右节点有覆盖：left == 1 && right == 2
   • 左节点有覆盖，右节点有摄像头：left == 2 && right == 1
   • 左右节点都有摄像头：left == 1 && right == 1

   代码如下：

   1	if (left == 1 || right == 1) return 2;

   从这个代码中，可以看出，如果 left == 1, right == 0 怎么办？其实这种条件在情况 2 中已经判断过了，如图：

   

4. 情况 4：头结点没有覆盖

   以上都处理完了，递归结束之后，可能头结点 还有一个无覆盖的情况，如图：

   

   所以递归结束之后，还要判断根节点，如果没有覆盖，result++

最终代码

最终的代码如下：

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *     Val int
 *     Left *TreeNode
 *     Right *TreeNode
 * }
 */
func minCameraCover(root *TreeNode) int {
    res := 0
    var recursion func(root *TreeNode) int
    recursion = func(root *TreeNode) int {
        // - 0：该节点无覆盖
        // - 1：本节点有摄像头
        // - 2：本节点有覆盖
        if root == nil {
            return 2
        }

        left := recursion(root.Left)
        right := recursion(root.Right)

        if left == 2 && right == 2 {
            return 0
        } else if left == 0 || right == 0 {
            res++
            return 1
        } else {
            // left =! 0 && right != 0
            // left == 1 || right == 1
            return 2
        }
    }
    if recursion(root) == 0 {
        res++
    }
    return res
}